Qué es la propiedad conmutativa y asociativa

Propiedades conmutativas y asociativas de la resta

Las propiedades conmutativa y asociativa pueden facilitar la evaluación de algunas expresiones algebraicas. Puesto que el orden no importa al sumar o multiplicar tres o más términos, podemos reordenar y reagrupar los términos para facilitar nuestro trabajo, como ilustran los siguientes ejemplos.

¿Cuál era la diferencia entre la parte 1 y la parte 2? Sólo ha cambiado el orden. Por la propiedad conmutativa de la adición, [latex]x+0,37+\left(-x\right)=x+\left(-x\right)+0,37[/latex]. Pero, ¿no era la parte 2 mucho más fácil?

¿Cuál era la diferencia entre la parte 1 y la parte 2 aquí? Sólo cambió la agrupación. Por la propiedad asociativa de la multiplicación, [latex]\Large\frac{4}{3}\left(\Large\frac{3}{4}\normalsize n\Large\right)\normalsize =\Large\left(\frac{4}{3}\normalsize\cdot\Large\frac{3}{4}\right)\normalsize n[/latex]. Eligiendo cuidadosamente cómo agrupar los factores, podemos facilitar el trabajo.

Cuando tenemos que simplificar expresiones algebraicas, a menudo podemos facilitar el trabajo aplicando primero la propiedad conmutativa o asociativa en lugar de seguir automáticamente el orden de las operaciones. Observa que en el primer ejemplo, la parte 2 fue más fácil de simplificar que la parte 1 porque los opuestos estaban uno al lado del otro y su suma es [latex]0[/latex]. Del mismo modo, la parte 2 del segundo ejemplo fue más fácil, con los recíprocos agrupados, porque su producto es [latex]1[/latex]. En los próximos ejemplos, usaremos nuestro sentido numérico para buscar formas de aplicar estas propiedades para facilitar nuestro trabajo.

Calculadora de propiedades conmutativas y asociativas

Cuando tenemos que simplificar expresiones algebraicas, a menudo podemos facilitar el trabajo aplicando primero la propiedad conmutativa o asociativa en lugar de seguir automáticamente el orden de las operaciones. Observa que en el Ejemplo 7.2.4 la parte (b) fue más fácil de simplificar que la parte (a) porque los opuestos estaban uno al lado del otro y su suma es 0. Del mismo modo, la parte (b) en el Ejemplo 7.2.5 fue más fácil, con los recíprocos agrupados, porque su producto es 1. En los próximos ejemplos, usaremos nuestro sentido numérico para buscar maneras de aplicar estas propiedades para hacer nuestro trabajo más fácil.

No importa lo que estés haciendo, siempre es una buena idea pensar en el futuro. Cuando simplifiques una expresión, piensa en cuáles serán tus pasos. El siguiente ejemplo te mostrará cómo usar la propiedad asociativa de la multiplicación puede facilitar tu trabajo si lo planeas con anticipación.

En El Lenguaje del Álgebra, aprendimos a combinar términos semejantes reordenando una expresión para que los términos semejantes estuvieran juntos. Simplificamos la expresión 3x + 7 + 4x + 5 reescribiéndola como 3x + 4x + 7 + 5 y luego la simplificamos a 7x + 12. Estábamos usando la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación. Hemos utilizado la propiedad conmutativa de la suma.

¿Cuál es la diferencia entre la propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación?

Como aprendimos en la lección anterior, el Orden de Operaciones es una regla clave para trabajar con expresiones matemáticas. Dentro de estas leyes se encuentran las Propiedades Conmutativa y Asociativa que sólo pueden aplicarse a la suma y a la multiplicación. La propiedad conmutativa establece que es posible desplazar los números de una expresión y obtener la misma respuesta. La propiedad asociativa establece que se pueden reagrupar números en una expresión y obtener la misma respuesta. Con estos métodos aprendemos a manipular expresiones y ecuaciones para simplificarlas y resolverlas.

Suma esta secuencia de números sin ayuda de una calculadora. La convención general es sumar de izquierda a derecha. Sin embargo, con la propiedad conmutativa podemos reorganizar estos números para facilitar la suma larga. Enuncie la Propiedad Conmutativa, luego reagrupe estos números de una manera más simple de sumar.

Ahora, en lugar de sumar en el orden, es decir, 5 + 8 = 13 + 3 = 16 + …, podemos simplificar buscando pares de números de modo que cada par nos proporcione un número más fácil de sumar. A menudo podemos buscar pares que se sumen para obtener números como 10 o 20.

Ejemplos de propiedades conmutativas y asociativas

¿Qué son las propiedades algebraicas? Las propiedades algebraicas explican cómo afectan a la respuesta los números y dónde se colocan en una expresión algebraica. Las tres propiedades principales son la conmutativa, la asociativa y la distributiva. La propiedad distributiva incluye múltiples operaciones. Las propiedades conmutativa y asociativa se discutirán con más detalle en esta lección. Estas dos propiedades se pueden usar con la suma o la multiplicación.

Reglas matemáticasLas matemáticas están llenas de reglas. Tienes que dividir antes de restar. 2 + 2 tiene que ser igual a 4. Sólo puedes comer tarta después de acabar las verduras. Trabajar con pi siempre te hará pensar en tarta. Afortunadamente, hay algunas reglas que hacen que las matemáticas sean más sencillas. Son como los Casual Fridays de las matemáticas. Son reglas, sí, pero definen cómo puedes soltarte un poco y quitarte esa corbata.

Reglas matemáticasLas matemáticas están llenas de reglas. Hay que dividir antes de restar. 2 + 2 tiene que ser igual a 4. Sólo puedes comer tarta después de acabarte las verduras. Trabajar con pi siempre te hará pensar en tarta. Afortunadamente, hay algunas reglas que hacen que las matemáticas sean más sencillas. Son como los Casual Fridays de las matemáticas. Son reglas, sí, pero definen cómo puedes soltarte un poco y quitarte esa corbata.