Cuáles son las propiedades de un subespacio vectorial

Ecuación vectorial

Subespacios unidimensionales en el espacio vectorial bidimensional sobre el campo finito F5. El origen (0, 0), marcado con círculos verdes, pertenece a cualquiera de los seis subespacios 1, mientras que cada uno de los 24 puntos restantes pertenece exactamente a uno; una propiedad que se cumple para los subespacios 1 sobre cualquier campo y en todas las dimensiones. Todo F52 (es decir, un cuadrado de 5 × 5) se representa cuatro veces para una mejor visualización

En matemáticas, y más concretamente en álgebra lineal, un subespacio lineal, también conocido como subespacio vectorial[1][nota 1] es un espacio vectorial que es un subconjunto de un espacio vectorial mayor. Un subespacio lineal se suele llamar simplemente subespacio cuando el contexto sirve para distinguirlo de otros tipos de subespacios.

Si V es un espacio vectorial sobre un campo K y si W es un subconjunto de V, entonces W es un subespacio lineal de V si bajo las operaciones de V, W es un espacio vectorial sobre K. Equivalentemente, un subconjunto no vacío W es un subespacio de V si, siempre que w1, w2 sean elementos de W y α, β sean elementos de K, se deduce que αw1 + βw2 está en W.[2][3][4][5][6]

Dimensión del subespacio

Ahora hay que hacer varias observaciones importantes. Muchas de ellas serán más fáciles de entender en una segunda o tercera lectura, y especialmente después de estudiar detenidamente los ejemplos de la subsección VS.EVS.

Un axioma suele ser una verdad “evidente”. Algo tan fundamental que todos estamos de acuerdo en que es cierto y lo aceptamos sin pruebas. Normalmente, sería la base lógica sobre la que empezaríamos a construir teoremas. Algunos podrían referirse a las diez propiedades de la Definición VS como axiomas, implicando que un espacio vectorial es un objeto muy natural y que las diez propiedades son la esencia de un espacio vectorial. Nosotros, en cambio, haremos hincapié en que comenzaremos con una definición de espacio vectorial. Después de estudiar el resto de este capítulo, puede volver aquí y recordar cómo todos nuestros teoremas y definiciones futuros se basan en este fundamento.

Como veremos en breve, los objetos en $V$ pueden ser cualquier cosa, aunque los llamaremos vectores. Hemos trabajado a menudo con vectores, pero debemos subrayar que hasta ahora sólo se trataba de vectores columna, es decir, escalares ordenados en una lista de columnas de longitud fija. Del mismo modo, durante muchos años se ha utilizado el símbolo “+” para representar la suma de números (escalares). Hemos extendido su uso a la suma de vectores columna y a la suma de matrices, y ahora vamos a reciclarlo aún más y dejar que denote la suma de vectores en cualquier espacio vectorial posible. Así que cuando describamos un nuevo espacio vectorial, tendremos que definir exactamente qué es “+”. Comentarios similares se aplican a la multiplicación escalar. A la inversa, podemos definir nuestras operaciones como queramos, siempre que se cumplan las diez propiedades (véase el Ejemplo CVS).

Subespacio lineal

Un subespacio es un espacio vectorial contenido en otro espacio vectorial. Por tanto, cada subespacio es un espacio vectorial en sí mismo, pero también está definido en relación con otro espacio vectorial (mayor). En breve descubriremos que ya estamos familiarizados con una gran variedad de subespacios de secciones anteriores.

En el ejemplo SC3 pasamos por las diez propiedades de los espacios vectoriales antes de creer que un subconjunto era un subespacio. Pero seis de las propiedades fueron fáciles de demostrar, y podemos apoyarnos en algunas de las propiedades del espacio vectorial (el superconjunto) para hacer más fáciles las otras cuatro. He aquí un teorema que facilitará la comprobación de si un subconjunto es un espacio vectorial. Un atajo donde los haya.

Tal vez quieras volver atrás y repasar el ejemplo SC3 a la luz de este resultado, quizás viendo dónde podemos ahorrar ahora o dónde el trabajo hecho en el ejemplo reflejaba la prueba y dónde no. Seguiremos adelante y aplicaremos este teorema en un entorno ligeramente más abstracto.

Puede ser igual de instructivo considerar algunos subconjuntos que no son subespacios. Dado que el teorema TSS es una equivalencia (véase la técnica de demostración E) podemos estar seguros de que un subconjunto no es un subespacio si viola una de las tres condiciones, y en cualquier ejemplo de interés ésta no será la condición “no vacío”. Sin embargo, como un subespacio tiene que ser un espacio vectorial por derecho propio, también podemos buscar una violación de cualquiera de las diez propiedades definitorias de la Definición VS o de cualquier propiedad inherente a un espacio vectorial, como las dadas por los teoremas básicos de la Subsección VS.VSP. Nótese también que una violación sólo tiene que ser para un vector o par de vectores específico.

Subespacio lineal cerrado

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Lo primero que tenemos que hacer para comprender los conceptos de subespacios en álgebra lineal es entender completamente el concepto de RnR^{n}Rn, o lo que se llama: el espacio de coordenadas reales de n-dimensiones. Para ello, hay algunos términos básicos que al menos hay que conocer, como son: variables, dimensión y espacio de coordenadas. Aclaremos primero estos términos en los párrafos siguientes.